문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입력/출력

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
	int ans = 210000000, n, w[15][15] = { 0, };
	vector<int>dist;

	scanf("%d", &n);
	
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		dist.push_back(i);	// 0, 1, 2, ... , n-1 저장
		for (int j = 0; j < n; j++)
			scanf("%d", &w[i][j]);
	}

	// 순열을 사용하여 순회할 수 있는 모든 방법을 탐색함
	// 단, 문제 조건의 '시작점으로 다시 돌아감'이 있기 때문에 시작점을 1로 고정시켜서 순열을 돌린다.
	do {
		int i, sum = 0;

		for (i = 0; i < n - 1; i++) {
			if (w[dist[i]][dist[i + 1]] == 0) break; // i->i+1의 비용이 0 인경우 순회 불가
			else sum += w[dist[i]][dist[i + 1]]; // i->i+1의 비용을 더해줌
		}

		// 순회 중간의 비용이 0이 없으면서 j->i로 돌아가는 비용이 0이 아닌 경우
		if (i >= n - 1 && w[dist[i]][dist[0]] != 0) {
			sum += w[dist[i]][dist[0]];	// 돌아가는 비용을 더해줌
			if (sum < ans) ans = sum; // 최소비용 저장
		}

	} while (next_permutation(dist.begin()+1, dist.end()));
	
	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}

풀이

N의 최대 수는 10이기에 전체탐색을 하여 O(N * N!)을 하여도 무방하다.
전체 탐색을 위해 순열함수인 next_permutation()을 사용하여 순회할 수 있는 모든 방법을 다 시도한다.
단, 문제 조건 중 “다시 원래의 도시로 돌아오는” 이라는 말 때문에 시간을 조금 더 줄일 수 있다. O(N * N!) -> O(N!)
시작점을 1로 고정시켜두고, 이외의 값들에 대한 순열을 돌린다.
그리고 순회 비용이 0이 아닌 순회 방법 중에서 최소값을 답으로 가져오는 간단한 방식이다.