문제

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 각 케이스는 n을 포함하며, 한 줄로 이루어져 있다. (n ≤ 123456)

입력의 마지막에는 0이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 출력한다.

예제 입력/출력

코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	int n = 2;
	vector<int> ans;

	scanf("%d", &n);

	while (n) {
		int cnt = 0;

		// n ~ 2*n 범위의 각 숫자 소수 조사
		for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {

			if (i == 2) {
				cnt++;
				continue;
			}

			int j;
			// 소수 여부 확인 
			for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
				if (i%j == 0) 
					break;
			}
				
			if (sqrt(i) < j)
				cnt++;
		}
		
		ans.push_back(cnt);
		
		scanf("%d", &n);
	}

	for (vector<int>::iterator i = ans.begin(); i < ans.end(); i++)
		cout << *i << '\n';

	return 0;
}

풀이

소수를 구하기 위해 for문의 전수조사 범위를 어떻게 설정하느냐가 시간 초과 문제를 해결하는 부분이다.
√N(N의 제곱근)보다 크지 않는 범위 내에서만, 값을 나눴을때 나머지 존재여부를 확인하면 된다.

예로 12의 소수여부를 확인해본다고 한다.
소수판별을 위해 2 ~ 11의 수로 12를 나눠 나머지 존재여부를 확인할 것이다.
2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12, 4 * 3 = 12, 6 * 2 =12
따라서 약수 2, 3, 4, 6을 갖고있기에 소수가 아니라는 것을 알 수 있다.
4 * 3, 6 * 2는 단순히 앞의 곱셈을 거꾸로한 중복 계산하기 때문에 의미가 없어진다. 그렇다면 적절한 부분에서 끊어주어 굳이 중복으로 계산하지 않게 만들면 시간이 단축된다.
이 중복계산의 중간점은, 12의 제곱근인 약 3.46이다. 무조건 몫 or 나누는 수는 12의 제곱근 범위 보다 작게 된다. 제곱을 통해 절반만 확인하게 되면서 탐색 시간이 줄어들게 된다.